Kugelresonator und Eigenwerte (Eigenmoden)

Der Hohlraum Erde–Ionosphäre lässt sich als Kugelresonator auffassen: Wellen mit einer Wellenlänge vergleichbar mit dem Erdumfang (\approx 40\,000 km) überlagern sich entlang des Umfangs zu einer stehenden Schwingung. Resonanz tritt auf, wenn eine ganzzahlige Anzahl von Wellenlängen den Planeten „umrundet“ — daher das diskrete Spektrum der Eigenmoden, nummeriert mit n = 1, 2, 3, \dots

Mathematisch ergibt sich die Winkelzahl n aus der Forderung, dass die Lösung der Legendre-Gleichung auf der gesamten Kugel regulär ist; zulässig sind nur ganze Werte von n, zu denen die Legendre-Polynome P_n(\cos\theta) gehören. Die Mode n hat auf der Kugel n Knotenkreise, sodass n=1 die niedrigste (Dipol-)Konfiguration, n=2 die Quadrupol-Konfiguration usw. ist. Jede Mode ist im idealen (kugelsymmetrischen) Hohlraum in der Azimutalzahl m (2n+1)-fach entartet — diese Entartung wird im realen, inhomogenen Hohlraum aufgehoben und führt zur Modenaufspaltung (siehe #24).

Der Eigenwert bestimmt die Resonanzfrequenz f_n der jeweiligen Mode. Für den idealen Hohlraum hat sie eine geschlossene Form (siehe #17), für den realen Hohlraum wird sie numerisch gewonnen.