Maxwell-Gleichungen im Hohlraumresonator

Die Schumann-Resonanz ist eine elektromagnetische Eigenschwingung des kugelförmigen Hohlraums zwischen der Erdoberfläche und der unteren Ionosphäre. Die Felder werden aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet, die auf einer Kugelschale mit innerem Radius a (Erdoberfläche) und leitfähiger oberer Grenze (Ionosphäre) aufgestellt werden Sentman 1995Nickolaenko Hayakawa 2002.

Im Hohlraum dominieren TM-Moden (transverse magnetic): Sie haben ein vertikales (radiales) elektrisches Feld E_r und ein horizontales Magnetfeld; die Komponente E in Ausbreitungsrichtung ist vorhanden, während H rein transversal ist. Das entspricht der Physik der ELF-Quelle — der Blitze als vertikale Stromkanäle — sowie der Geometrie des dünnen Hohlraums, dessen Dicke (einige zehn km) viel kleiner ist als die Wellenlänge (Tausende km) und der Erdumfang.

Aus den quellfreien Maxwell-Gleichungen erhält man für die harmonische Abhängigkeit e^{-i\omega t} die Wellengleichung (Helmholtz-Gleichung) \nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0 mit k = \omega/c. Aufgrund der Kugelsymmetrie separiert sich die Lösung in einen radialen und einen Winkelteil; der Winkelteil führt auf Kugelflächenfunktionen Y_n^m(\theta,\varphi) bzw. Legendre-Funktionen P_n(\cos\theta). Die Indizes n nummerieren die Eigenmoden des Hohlraums.